Question

已知定义在R上的单调递增函数满足,且。

（Ⅰ）判断函数的奇偶性并证明之；

（Ⅱ）解关于的不等式：；

（Ⅲ）设集合,.，若集合有且仅有一个元素，求证: 。

Answer

（Ⅰ）函数为R上的奇函数,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）抽象函数奇偶性的证明，先令，再令可求得出函数为奇函数, （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上为奇函数，则利用单调性及与-1的关系可解得； （Ⅲ）先对进行化简，再利用两方程有唯一解求证.

试题解析：（Ⅰ）令,

令,,

函数为R上的奇函数.                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又函数是单调递增函数,

故                    （8分）

（Ⅲ）

,又有且仅有一个元素,即方程组有唯一解,

即仅有一个实根, ,即 （13分）

考点：抽象函数求奇偶性,不等关系,交集定义,函数与方程.