Question

已知函数

（1）当时，求函数的单调递增区间；
（2）记函数的图象为曲线，设点是曲线上的不同两点．如果在曲线上存在点，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”，试问：函数是否存在“中值相依切线”，请说明理由.

Answer

（1）当时，的单调递增区间为；当，的单调递增区间为和；（2）函数不存在“中值相依切线”.

【解析】

试题分析：（1）当时，分和两种情况分别进行分析，当时, , 显然函数在上单调递增；当时, ，令,解得或;所以当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增；（2）先设是曲线上的不同两点，求出的表达式化简得到：，再经过求导分析得出函数不存在“中值相依切线”.

试题解析：（1）函数的定义域是. 由已知得，

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或;

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

（2）假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，.

曲线在点处的切线斜率

依题意得：

化简可得： ， 即=

设 ()，上式化为：,

. 令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立. 所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.

考点：函数的单调性；函数的综合应用.