Question

已知函数，且在处的切线方程为．

（1）求的值；

（2）设，若对任意的，,求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）对函数进行求导，根据导数的几何意义，结合切线的方程，可以得到两个方程，解方程组即可求出的值；

（2）对任意的，,等价于在上的最小值不小于的最大值，利用导数进行分类求解即可.

（1），在处的切线方程为，所以有：；

（2）由（1）可知：

显然当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，故函数在上的最小值为：.

.

当时，函数的最大值为：，于是由可得：，而，所以；

当时，函数的最大值为：，于是由

可得：c无解；

当时，

若时，即时，，于是由

可得：，因此；

若时，即时，函数的最大值为：

，于是由可得：

，综上所述：实数的取值范围为：.