Question

已知数列：，，，（），与数列：，，，，（），记.

（1）若，求的值；

（2）求的表达式；

（3）已知，且存在正整数，使得在中有4项为100，求的值，并指出哪4项为100.

Answer

（1）；（2）；（3），，，，，为100.

【解析】

(1)直接求得关于的表达式再求解即可.

(2)先求得,再猜测的表达式利用数学归纳法求证即可.

(3)分别写出的值,判断这12项的中的4项和为100,再求出的值即可求出哪4项和为100.

(1)易得,,,,,…

故,解得.

(2)由得

.

猜测,用数学归纳法证明,

①当时, 成立.

②假设当,时等式成立,即,则当时,

也成立.

根据①,②可以判定：当时,

(3)根据(2)有.

当时, ；

当时, ；

当时, ；

当时, ；

当时, ；

当时, ；

因为是奇数,,,均为负数.故这些数均不可能取到100,

故当或,即,时,,,为100.