Question

已知函数，

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求证：当时，；

（3）设实数k使得对恒成立，求k的最大值．

Answer

（1）；（2）见解析；（3）2.

【解析】

（1）利用函数的导数求出在曲线上某点处的切线方程.

（2）构造新函数，利用函数的单调性即可证明.

（3）对进行讨论，利用新函数的单调性求参数的取值范围.

（1）因为，

所以，则．

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）令，

则．

因为，所以在区间上单调递增．

所以，

即当时，．

（3）由（2）知，当时，对恒成立．

当时，令，

则．

所以当时，，

因此在区间上单调递减．

当时，，

即．

所以当时，并非对恒成立．

综上可知，k的最大值为2．