Question

已知集合，对于的一个子集，若存在不大于的正整数，使得对中的任意一对元素、，都有，则称具有性质.

（1）当时，试判断集合和是否具有性质？并说明理由；

（2）当时，若集合具有性质.

①那么集合是否一定具有性质？并说明理由；

②求集合中元素个数的最大值.

Answer

（1）不具有性质，具有性质，理由见解析；（2）①具有性质，理由见解析；②.

【解析】

（1）当时，集合，，根据性质的定义可知其不具有性质；，令，利用性质的定义即可验证；

（2）当，则.

①根据，任取，其中，可得，利用性质的定义加以验证即可说明集合具有性质；

②设集合有个元素，由①可知，任给，，则与中必有个不超过，从而得到集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过，然后利用性质的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得.

（1）当时，集合，不具有性质.

因为对任意不大于的正整数，

都可以找到该集合中的两个元素与，使得成立.

集合具有性质.

因为可取，对于该集合中任一元素，，、.

都有；

（2）当时，则.

①若集合具有性质，那么集合一定具有性质.

首先因为，任取，其中.

因为，所以.

从而，即，所以.

由具有性质，可知存在不大于的正整数，

使得对中的任意一对元素、，都有.

对于上述正整数，从集合中任取一对元素，，其中、，则有.

所以，集合具有性质；

②设集合有个元素，由①可知，若集合具有性质，那么集合一定具有性质.

任给，，则与中必有一个不超过.

所以集合与中必有一个集合中至少存在一半元素不超过.

不妨设中有个元素、、、不超过.

由集合具有性质，可知存在正整数.

使得对中任意两个元素、，都有.

所以一定有、、、.

又，故、、、.

即集合中至少有个元素不在子集中，

因此，所以，得.

当时，取，则易知对集合中的任意两个元素、，都有，即集合具有性质.

而此时集合中有个元素，因此，集合元素个数的最大值为.