Question

已知{a_n}是等差数列，设数列{b_n}的前n项和为S_n，且2b_n＝b₁（1+S_n），b_n≠0，又a₂b₂＝4，a₇+b₃＝11．

（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；

（2）令c_n＝a_nb_n（n∈N^*），求{c_n}的前n项和T_n

Answer

（1）an＝n；bn＝2n﹣1（2）Tn＝（n﹣1）•2n+1

【解析】

（1）运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式可得bn，{an}是公差为的等差数列，运用等差数列的通项公式可得首项和公差，可得所求通项公式；
（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

（1）2bn＝b1（1+Sn），bn≠0，

n＝1时，2b1＝b1（1+S1）＝b1（1+b1），解得b1＝1，

n≥2时，2bn﹣1＝1+Sn﹣1，且2bn＝1+Sn，

相减可得2bn﹣2bn﹣1＝Sn﹣Sn﹣1＝bn，

即bn＝2bn﹣1，

可得bn＝2n﹣1，

设{an}是公差为d的等差数列，

a2b2＝4，a7+b3＝11即为a1+d＝2，a1+6d＝7，

解得a1＝d＝1，可得an＝n；

（2）cn＝anbn＝n•2n﹣1，

前n项和，

，

两式相减可得﹣Tn＝1+2+4+…+2n﹣1﹣n2n

n2n，

化简可得Tn＝（n﹣1）2n+1．