Question

在直角坐标系中，点，是曲线上的任意一点，动点满足

（1）求点的轨迹方程；

（2）经过点的动直线与点的轨迹方程交于两点，在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在点符合题意.

【解析】

（1）设，，利用相关点代入法得到点的轨迹方程；

（2）设存在点，使得，则，因为直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，利用斜率和为0，求得，从而得到定点坐标.

（1）设，，

则，，.

又，则即

因为点N为曲线上的任意一点，

所以，

所以，整理得，

故点C的轨迹方程为.

（2）设存在点，使得，所以.由题易知，直线l的倾斜角不可能为，故设直线l的方程为，

将代入，得.设，，则，.因为，所以，即，所以.故存在点，使得.