Question

已知函数，函数为函数的反函数．

（1）求函数的解析式；

（2）若方程恰有一个实根，求实数的取值范围；

（3）设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

(1)令求解即可.

(2)化简等式得,再分情况讨论即可.

(3)根据分析的单调性与最值,利用二次函数的取值范围求解即可.

【解析】
（1）因为为函数的反函数,

故,

得,

所以；

（2）由得；

当时,,经检验,满足题意；

当时,,经检验,满足题意；

当且时,,,,

若是原方程的解,当且仅当,即,

若是原方程的解,当且仅当,即,

于是满足题意的．

综上,的取值范围为．

（3）不妨令,则,

即函数在上为减函数；

,,

因为当,满足,

故只需,

即对任意成立．

因为,所以函数在上单调递增,

时,有最小值,

由,得,

故的取值范围为．