Question

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.

（Ⅰ）证明：G是AB的中点；

（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.

【解析】

试题证明由可得是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面体的体积

试题解析：（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以

因为在平面内的正投影为，所以

所以平面，故

又由已知可得，，从而是的中点.

（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.

理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.

连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.

由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故

由题设可得平面，平面，所以，因此

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得

在等腰直角三角形中，可得

所以四面体的体积