Question

已知椭圆与双曲线有相同的焦点，点是曲线与的一个公共点，，分别是和的离心率，若，则的最小值为(    )

A. B.4 C. D.9

Answer

A

【解析】

题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a12+a22=2c2，由此能求出4e12+e22的最小值．

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a1，双曲线实轴为2a2，

令P在双曲线的右支上，

由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2a2，①

由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a1，②

又∵PF1⊥PF2，

∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③

①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=4a12+4a22，④

将④代入③，得a12+a22=2c2，

∴4e12+e22==++≥+2=．

故选A．