Question

四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，是等边三角形，为的中点，.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，能否在棱上找到一点，使平面平面?若存在，求的长.

Answer

（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）连接,根据三角形性质可得,由底面菱形的线段角度关系可证明,即证明平面,从而证明.

（Ⅱ）易证平面平面,连接交于点,过作交于,即可证明平面,在三角形

（Ⅰ）证明：连接,是等边三角形,为的中点,所以；

又底面是菱形,,

所以,,

所以平面,

平面,所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,

所以平面,又平面

即平面平面

平面平面,又,所以平面

连接交于点,过作交于,如下图所示:

所以平面,又平面

所以平面平面

因为,所以,即

在等边三角形中,可得

在菱形中,由余弦定理可得

在中,可得

所以