Question

已知椭圆：的离心率为，过的左焦点做轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的标准方程及长轴长；

（2）椭圆的短轴的上下端点分别为，，点，满足，且，若直线，分别与椭圆交于，两点，且面积是面积的5倍，求的值.

Answer

（1）椭圆的标准方程为：，长轴长为4（2）

【解析】

(1)根据通径与椭圆的基本量的关系求解即可.

(2)分别设直线,直线的方程,联立椭圆的方程,再利用三角形的面积公式表达出面积是面积的5倍,再代入韦达定理求解即可.

【解析】
（1）因为椭圆的左焦点横坐标为,

由及,得,

故,又,解得：,

所以,椭圆的标准方程为：,长轴长为4.

（2）∵,,,且,

∴直线的斜率为,直线斜率为,

∴直线的方程为,直线的方程为,

由得,∴,,∴,

由得,∴,,∴；

∵,

,

,,

∴,

即,

又,

∴,

整理方程得：,

解得：.