Question

已知函数，且函数是偶函数，设

(1)求的解析式；

(2)若不等式≥0在区间(1，e²]上恒成立，求实数的取值范围；

(3)若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围．

Answer

(1) ；(2) ；(3) .

【解析】

（1）对称轴为，对称轴为，再根据图像平移关系求解；（2）分离参数，转化为求函数的最值；（3）令为整体，转化为二次函数根的分布问题求解.

(1) 函数的对称轴为，

因为向左平移1个单位得到，且是偶函数，

所以 ，

所以.

(2)

即

又 ，所以，则

因为，所以实数的取值范围是.

(3) 方程即

化简得

令，则

若方程有三个不同的实数根，

则方程必须有两个不相等的实数根 ，

且或，

令

当时，则，即 ，

当时， ，，，舍去，

综上，实数的取值范围是.