Question

已知椭圆的左,右焦点分别是,,离心率为,直线被椭圆C截得的线段长为.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于A,B两点,交x轴于P点,点A关于x轴的对称点为M,直线BM交x轴于Q点.求证:(O为坐标原点)为常数.

Answer

(1);(2)证明见解析.

【解析】

（1）由题意可得点在椭圆上,代入椭圆方程可得，再利用椭圆的离心率，，求出即可求解.

（2）设直线l的方程为,点P的坐标为，设,,则,根据题意求出点坐标，联立，利用韦达定理将点坐标用表示即可证出.

设椭圆C的焦距为,则,

由直线被椭圆C截得的线段长为可知,点在椭圆上,

从而.结合,可解得,.

故椭圆C的方程为.

(2)依题意,直线l的方程为,则P的坐标为.

设,,则,

直线BM的方程为,令,

得Q点的横坐标为.①

又由,得,

,

得,

代入①得,

得,所以为常数4.