Question

已知函数，函数.

（1）若函数，最小值为，求实数的值；

（2）当时，不等式的解集为，求实数的取值范围.

Answer

（1）或；（2）．

【解析】

（1）换元，可得出，可得出关于的二次函数在区间上的最小值为，然后对该二次函数图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，可求出该函数的最小值，可解出实数的值；

（2）由题意得出不等式在区间上无解，可得出对任意的恒成立，构造函数，求出该函数在区间上的最小值，即可求出实数的取值范围.

（1）令，因为，所以．设，则，化简得，，

当，即时，有，解得或；

当，即时，有，解得（舍去）．

因此，实数的值为或；

（2）不等式可化为，即．

因为当时，不等式的解集为，

所以当时，不等式的解集为，

则不等式对任意的恒成立，

令，，

则函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以，从而，

因此，实数的取值范围是．