Question

如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点．

（1）求证：平面；

（2）求直线和平面所成角的正切值；

（3）求三棱锥的体积．

Answer

（1）见解析（2）（3）

【解析】

（1）根据等腰三角形三线合一,可知.根据平面与平面垂直的性质即可证明平面;

（2）连结,由（1）可知是直线和平面所成角.根据三角形中线段关系,即可求得和,进而求得即可.

（3）根据三棱锥体积,即可由三棱锥的体积公式求解.

（1）证明：∵,为的中点,

∴,

∵平面平面,平面,

∴平面；

（2）连结,由（1）得平面,

∴是直线和平面所成角,

在等腰直角三角形中,,所以,,

在等边中,为的中点,

∴,,

∵平面,平面,

∴,

∴,

即直线和平面所成角的正切值为；

（3）因为,．

所以等边三角形的面积．

又因为平面,

所以,

所以三棱锥的体积为．