Question

已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）分类讨论，详见解析；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）当时，求出可得切线的斜率，从而得到切线方程.

（Ⅱ）求出后就讨论其符号后可得函数的单调区间.

（Ⅲ）就、、、 、分类讨论后可得的最大值和最小值，从而得到关于的不等式组，其解即为所求的取值范围.

【解析】
（Ⅰ）当时，因为

所以，.

又因为，

所以曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）因为，

所以.

令，解得或.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

若，则，

当且仅当时取等号，故函数在上是增函数.

若，当即或时，

故函数的单调递增区间为；

当即时，故函数的单调递减区间为.

综上，时，函数单调递增区间为，单调递减区间为；

时，函数单调递增区间为；

时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

（Ⅲ） 由题设，只要即可.

令，解得或.

当时，随变化， 变化情况如下表：

减

极小值

增

由表可知，此时 ，不符合题意.

当时，随变化， 变化情况如下表：

增

极大值

减

极小值

增

由表可得，

且，，

因，所以只需，

即 ，解得.

当时，由（Ⅱ）知在为增函数，

此时，符合题意.

当时，

同理只需，即 ，解得.

当时，，，不符合题意.

综上，实数的取值范围是.