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已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：.

已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：；

（3）证明：.

 

（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 （1）求出和的值，利用点斜式可写出所求切线的方程； （2）构造函数，利用导数求出函数的最小值，由可证明出； （3）证明出，利用（2）中的结论可得出，化简后可得出结论. （1），，则，， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）设函数，则， 令，得；令，得. 所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 则函数在处取得极小值，亦即最小值，即， 即； （3）因为函数的定义域为，所以，， 由（2）知，， 即， 又，所以等号可以成立，从而.
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考点分析：
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已知函数

(1)讨论函数的单调性;

(2)设,当函数与的图象有三个不同的交点时,求实数的取值范围.

 

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已知函数，．

（1）求的单调区间；

（2）若在上恒成立，求的取值范围．

 

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已知函数.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）对于任意，，都有，求实数的取值范围.

 

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已知a为实数．

当，时，求在上的最大值；

当时，若在R上单调递增，求a的取值范围．

 

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已知，.

（1）讨论的单调区间；

（2）当时，证明：.

 

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