Question

某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入）

问：

（1）把y表示为x的函数，并求其定义域；

（2）试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收入最多？

Answer

（1）（2）当每张票定为22元时，放映一场电影的利润最高，最高为8330元．

【解析】

试题（1）根据x的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．

【解析】
（1）电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，

∴x＞5.75，∴票价最低为6元，

票价不超过10元时：

y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），

票价高于10元时：

y=x[1000﹣30（x﹣10）]﹣5750

=﹣30x2+1300x﹣5750，

∵，

解得：5＜x＜38，

∴y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；

（2）对于y=1000x﹣5750，（6≤x≤10的整数），

x=10时：y最大为4250元，

对于y=﹣30x2+1300x﹣5750，（10＜x≤38的整数）；

当x=﹣≈21.6时，y最大，

∴票价定为22元时：净收人最多为8830元．