Question

若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则该函数为“依附函数”.

(1)判断函数是否为“依附函数”，并说明理由；

(2)若函数在定义域上“依附函数”，求的取值范围；

(3)已知函数在定义域上为“依附函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.

Answer

(1)不是，理由见解析；(2)；(3).

【解析】

（1）举出反例：取，但是不存在，即可判定；

（2）根据依附函数的关系，结合在递增，故，即，，即可求得取值范围；

（3）根据依附函数的关系结合单调性分析可得，将问题转化为存在，使得对任意的，有不等式都成立，即关于t的不等式恒成立，即可求解.

(1)对于函数的定义域内存在，则，无解.

故不是“依附函数”；

(2)因为在递增，故，

即，，

由，故，得，

从而在上单调递增，故，

(3)①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；

②若故在上单调递减，从而，

解得（舍）或.从而，存在，使得对任意的，

有不等式都成立，

即恒成立，

由，得，

由，可得，

又在单调递减，

故当时，，

从而，解得，

综上，故实数的最大值为.