Question

已知函数，其中为常数.

（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若，证明函数在区间上单调递增.

Answer

（1），偶函数；，非奇非偶函数；见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）分类讨论，， ，两种情况根据定义分析函数的奇偶性；

（2）利用定义法作差证明函数的单调性.

（1）当时，，定义域，恒成立，所以函数为奇函数；

当时，，定义域，，

不恒为零，不为零，所以函数为非奇非偶函数；

综上所述：当时，函数为奇函数；当时，函数为非奇非偶函数；

（2）若，，

任取，

，

则，所以函数在区间上单调递增.