Question

已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）若关于的方程在区间上恰有一个实数解，求的取值范围；

（3）设，若存在使得函数在区间上的最大值和最小值的差不超过1，求的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；

（2）将问题转化为在区间上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；

（3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.

（1）当时，，，

即，，，与同解，

得；

（2）由题意：关于x的方程在区间上恰有一个实数解，

，

，

在区间上恰有一个实数解，

即，解得：，

且，即，

综上所述：；

（3）由题：，，函数在区间上单调递减，

最大值和最小值的差不超过1，即

，

所以

即存在使成立，只需即可，

考虑函数，，令，

，

根据勾型函数性质在单调递减，

所以在单调递减，所以，

所以.