Question

对于定义在上的函数，若存在实数及、（）使得对于任意 都有成立，则称函数是带状函数；若存在最小值，则称为带宽.

（1）判断函数 是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，请说明理由；

（2）求证：函数（）是带状函数；

（3）求证：函数是带状函数的充要条件是.

Answer

（1）是，带宽为2；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）根据函数关系，即可判定是带状函数；

（2）分别证明即可得证；

（3）处理绝对值，将函数写成分段函数形式，分别证明充分性和必要性.

（1）考虑两条直线，即： ，

断函数 是带状函数，带宽为2；

（2）函数（），

当时，所以有，有，

当时，，即

所以有，所以，

综上所述，

所以函数（）是带状函数；

（3）函数，

充分性：当时，，

，存在两条直线满足题意，即该函数为带状函数；

必要性：当为带状函数，

则存在，

假设

不妨考虑，

则直线与两条直线中至少一条相交，所以不满足，

所以不满足题意.即，

综上所述：函数是带状函数的充要条件是.