Question

如图，几何体中，为边长为2的正方形，为直角梯形，，，，，．

（1）求证：；

（2）求二面角的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题（1）证明：由题意得，平面，

又平面，再由勾股定理得

平面；（2）以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量，平面的法向量为．

试题解析： （1）证明：由题意得，，，，

∴平面，∴，

∵四边形为正方形，∴，

由，

∴平面，∴，

又∵四边形为直角梯形，，，，，

∴，，则有，∴，

由，∴平面．

（2）由（1）知，，所在的直线相互垂直，故以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

可得，，，，，，

由（1）知平面的法向量为，

∴，，

设平面的法向量为，

则有即即

令，则，

设二面角的大小为，

，

∵，∴．