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已知数列:,,,…,为1,2,3,…,的一个排列,若互不相同,则称数列具有性质....

已知数列,…,123,…,的一个排列,若互不相同,则称数列具有性质.

1)若,且,写出具有性质的所有数列

2)若数列具有性质,证明:

3)当时,分别判断是否存在具有性质的数列?请说明理由.

 

(1)或;(2)证明见详解;(3)时不存在,时存在,理由见详解 【解析】 (1)根据题意直接写数列即可; (2)假设,则,那么最多有个结果,无法满足个互不相同,故不满足性质,题设得证; (3)根据两组1,2,3,…,中的奇偶个数,可以推导的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论. (1)若,且, 则具有性质的数列有两个, 分别是或; (2)数列:,,,…,为1,2,3,…,的一个排列, 则最多有个结果,分别是, 若,则, 时,最多有个结果,分别是, 因此,若,则最多有个结果,分别是, 无法满足个互不相同,故不满足性质, 因此,若数列具有性质,则; (3)当时,不存在具有性质的数列; 当时,存在具有性质的数列. 证明如下: 当时,:,,,…,为1,2,3,…,7的一个排列, 若其具有性质,则的结果应该分别是, 包含3个奇数,4个偶数, 而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数, 其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数, 但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数, 因此时,不存在具有性质的数列; 若,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数, 可以组合相减得到,这4个偶数,4个奇数, 因此时,存在具有性质的数列.
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