Question

已知数列：，，，…，为1，2，3，…，的一个排列，若互不相同，则称数列具有性质.

（1）若，且，写出具有性质的所有数列；

（2）若数列具有性质，证明：；

（3）当时，分别判断是否存在具有性质的数列？请说明理由.

Answer

(1)或;(2)证明见详解;(3)时不存在,时存在,理由见详解

【解析】

(1)根据题意直接写数列即可;

(2)假设,则,那么最多有个结果,无法满足个互不相同,故不满足性质,题设得证;

(3)根据两组1,2,3,…,中的奇偶个数,可以推导的结果中,奇数与偶数的个数组合,从而得出结论.

(1)若,且,

则具有性质的数列有两个,

分别是或;

(2)数列:,,,…,为1,2,3,…,的一个排列,

则最多有个结果,分别是,

若,则,

时,最多有个结果,分别是,

因此,若,则最多有个结果,分别是,

无法满足个互不相同,故不满足性质,

因此,若数列具有性质,则;

(3)当时,不存在具有性质的数列;

当时,存在具有性质的数列.

证明如下:

当时,:,,,…,为1,2,3,…,7的一个排列,

若其具有性质,则的结果应该分别是,

包含3个奇数,4个偶数,

而两组1,2,3,…,7中,包含8个奇数,6个偶数,

其中,3个奇数与3个偶数相减能得到结果中的3个奇数,

但剩下的5个奇数和3个偶数组合无法减出4个偶数,

因此时,不存在具有性质的数列;

若,则两组1,2,3,…,8中包含8个奇数,8个偶数,

可以组合相减得到,这4个偶数,4个奇数,

因此时,存在具有性质的数列.