Question

已知离心率为2的双曲线的左、右焦点分别为.若点，且线段的中垂线经过点.

（1）求双曲线的方程；

（2）设点为双曲线上异于顶点的任一点，为坐标原点，为双曲线的两顶点，连结，分别交轴于点和，问是否为一定值？若是，求出该定值；若不是，求出的取值范围.

Answer

（1）（2）是，

【解析】

（1）由线段的中垂线经过点得，再结合离心率为2，建立2个方程解出即可

（2）设，然后先得出和的方程，进而算出和的纵坐标即可求出

（1）由题，，即

∴或（舍）

又，∴，∴

∴双曲线的方程为：

（2）设

则的方程为：，令，有

的方程为：，令，有

∴

由于在双曲线上，∴，即

∴为定值.