Question

对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.

（1）求的值;

（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

Answer

（1）（2）答案见解析

【解析】

（1）直接由题意分析求解的值,即可求得答案;

（2）当且 时,当最后位是时,前个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即和,共有种可能.当最后位是时,若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出现的字符串,此时不满足条件.可得且,,,然后利用数学归纳法证明是的倍数,即可求得答案.

（1） 在位数字符串中,子串“”在第位出现有且只有个,即,

.

在位数字符串中,子串“”在第位出现有个,即与,

（2）当且 时,

当最后位是时,前个数位上,每个数位上的数字都有两种可能,即和,

共有种可能．

当最后位是时,若最后位是,且前位形成的字符串中是子串“”在第位出现的字符串,此时不满足条件．

且.

,

.

下面用数学归纳法证明是的倍数．

①当时,是的倍数;

②假设当时,是的倍数,

当时,

是的倍数,且也是的倍数,

是的倍数．

即当时,是的倍数．

由①,②可知,对任意的正整数,是的倍数．