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设,为正整数,数列的通项公式,其前项和为 （1）求证:当n为偶数时,;当为奇数时...

设,为正整数,数列的通项公式,其前项和为

（1）求证:当n为偶数时,;当为奇数时,;

（2）求证:对任何正整数,.

 

（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】 （1）当为偶数时,设,即可求得,当n为奇数时,即,分别讨论和,即可求得答案; （2）当时,由（1）得,利用数学归纳法证明,即可求得答案. （1） ①当为偶数时, 设 . ②当n为奇数时, 设,, 当时, 此时, 当时, 此时, 综上所述,当为偶数时,; 当为奇数时,. （2）当时,由（1）得, 故时,命题成立． 假设时命题成立,即 当时,由（1）得: 即当时命题成立 综上所述,对正整数命题成立．
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考点分析：
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对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.

（1）求的值;

（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

 

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是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

 

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已知,,其中.

（1）求的值;

（2）记,求证:对任意的,总有.

 

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已知数列{an}满足.

（1）用数学归纳法证明:;

（2）令,证明:.

 

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（1）用数学归纳法证明:当时， (且);

（2）求的值.

 

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