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已知为整数,且,为正整数,,记. （1）试用分别表示; （2）用数学归纳法证明:...

已知为整数,且,为正整数,,记.

（1）试用分别表示;

（2）用数学归纳法证明:对一切正整数均为整数.

 

（1）（2）答案见解析 【解析】 （1）令,结合条件,求解,即可求得答案; （2）运用数学归纳法和两角和差的公式,结合条件,即可求得答案. （1） . 当, （2）①当时,由（1）得 为整数, 均为整数,则结论成立． ②当时,假设均为整数 则时, 均为整数, 也为整数, 即当时,结论成立． 综合①②得,对一切正整数均为整数
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考点分析：
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设,为正整数,数列的通项公式,其前项和为

（1）求证:当n为偶数时,;当为奇数时,;

（2）求证:对任何正整数,.

 

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对由和这两个数字组成的字符串,作如下规定:按从左向右的顺序,当第一个子串“”的最后一个所在数位是第(,且)位,则称子串“”在第位出现;再继续从第位按从左往右的顺序找子串“”,若第二个子串“”的最后一个所在数位是第位(其中且),则称子串“”在第位出现;……;如此不断地重复下去.如:在字符串中,子串“”在第位和第位出现,而不是在第位和第位出现.记在位由组成的所有字符串中,子串“”在第位出现的字符串的个数为.

（1）求的值;

（2）求证:对任意的正整数,是的倍数.

 

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是否存在实数，使得等式对于一切正整数都成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

 

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已知,,其中.

（1）求的值;

（2）记,求证:对任意的,总有.

 

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已知数列{an}满足.

（1）用数学归纳法证明:;

（2）令,证明:.

 

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