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在正整数集上定义函数,满足,且. （1）求证:; （2）是否存在实数使得任意正整...

在正整数集上定义函数,满足,且.

（1）求证:;

（2）是否存在实数使得任意正整数恒成立,并证明你的结论.

 

（1）答案见解析（2）答案见解析 【解析】 （1）写出与的递推关系:.再依次计算,即可求得答案; （2）先由的值确定的值,结合已知,利用数学归纳法证明,即可求得答案. （1） 可得得 （2）, 可得 解得: 猜想:对均有成立. 以下用数学归纳法证明: ①当时,等式显然成立; ②假设当时,等式成立,即成立. 当时, 即时,存在,使等式也成立． 由①②知,存在实数,对任意n∈N*,均有. 综上所述,存在满足题意．
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考点分析：
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设,其中.

（1）当时,化简:;

（2）当时,记,试比较与的大小.

 

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已知数列满足．

（1）求数列的通项公式;

（2）设数列的前项和为,用数学归纳法证明:.

 

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已知均为非负实数,且.

证明:（1）当时,;

（2）对于任意的,.

 

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已知数列,,且对任意n恒成立．

（1）求证:();

（2）求证:().

 

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在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在曲线y＝x2(x＞0)上．已知A(0，－1)，，n∈N*．记直线APn的斜率为kn．

（1）若k1＝2，求P1的坐标；

（2）若k1为偶数，求证：kn为偶数．

 

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