Question

如图,四棱锥 中,是正三角形,四边形ABCD是矩形,且平面平面.

(1)若点E是PC的中点,求证:平面BDE;

(2)若点F在线段PA上,且,当三棱锥的体积为时,求实数的值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE；（Ⅱ）由平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，进一步利用求得最后利用平行线分线段成比例求出λ的值

试题解析：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BD=Q，又点E是PC的中点，则在△PAC中，中位线EQ∥PA，

又EQ⊂平面BDE，PA⊄平面BDE．所以PA∥平面BDE

（Ⅱ）【解析】
依据题意可得：PA=AB=PB=2，取AB中点O，

所以PO⊥AB，且又平面PAB⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD；

作FM∥PO于AB上一点M，则FM⊥平面ABCD，因为四边形ABCD是矩形，

所以BC⊥平面PAB，则△PBC为直角三角形，

所以，则直角三角形△ABD的面积为，

由FM∥PO得：