Question

已知直线与焦点为F的抛物线相切.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（Ⅱ）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.

（Ⅰ）将与抛物线联立得：

与相切 ，解得：

抛物线的方程为：

（Ⅱ）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：

联立得：

设，，则

线段中点

设到直线距离分别为

则

当时，

两点到直线的距离之和的最小值为：