Question

已知a是实数，函数．

（1）若，求a的值及曲线在点处的切线方程；

（2）讨论函数在区间上的单调性．

Answer

（1），；（2）见解析.

【解析】

（1）化简并对其求导，由的值构建方程，求得a，进而由点斜式表示切线方程；

（2）对求导，令，表示两根，利用分类讨论含参数的根所在区间，从而得其导函数的正负关系，即原函数的单调性对应增减.

（1），，

则，，，，

因此，曲线在点处的切线方程为，即；

（2），，

令，得，．

①当时，即当时，对任意的，，

此时，函数在区间上单调递增．

②当时，即当时，

此时，当，则；

当时，．

此时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

③当时，即当时，对任意的，．

此时，函数在区间上单调递减．

综上所述，当时，函数在区间上单调递增；

当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；

当时，函数在区间单调递减．