Question

如图，正三棱柱中，各棱长均为4，    、分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值.

Answer

（1）见解析 ；（2）

【解析】

(1)根据几何关系得到，再由线面垂直得到，进而得到线面垂直；（2）由（1）可知平面，为与平面所成的角，由三角形性质得到由等面积法可得，即可求解.

（1）证明：因为且为的中点，所以，又在正三棱柱中，因为平面平面，平面，且平面平面，

所以平面，因为平面，所以，

因为，分别为，的中点，所以，又因为，，所以，所以，，

所以，，所以，又因为平面，平面，，所以平面.

（2）设，由（1）可知平面，所以为斜线在平面内的射影，所以为与平面所成的角，由题可知，

所以为等腰三角形，作于，则为的中点，所以，由等面积法可知，在中，，所以，

所以直线与平面所成的角的余弦值为.