Question

已知抛物线，，，其中，过的直线交抛物线与，．

（I）当，且直线垂直于轴时，求证：为直角三角形；

（Ⅱ）若，当点在直线上时，是否存在实数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）证明见解析；（Ⅱ）存在，.

【解析】

（I）由题意，代入中，求出，的坐标，计算出，，即可得证；

（Ⅱ）由题意可得四边形为平行四边形，则，设直线，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，要使则得到方程计算可得.

（I）证明：由题意，代入中解得，不妨取，，则，，

所以，

，即为直角三角形得证．

（Ⅱ）由题意可得四边形为平行四边形，则，

设直线，，联立

得，

由题意，判别式，，，

要使则，又，，

即

化简，得，

即，代入解得．

故时，有