Question

如图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为.

（1）当时，求的长；

（2）当时，求的长.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）建立空间直角坐标系，求出坐标，设M（0，1，z），分别求出面A1DN和平面MDN的法向量坐标，再由已知可得坐标，即可求解；

（2）根据（1）的法向量坐标，运用空间向量面面角公式，即可得出结论.

以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，

建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），A1（1，0，2），

N（，1，0），C（0，1，0）），设M（0，1，z），

设平面MDN的法向量，

则，即，

取，则，

平面MDN的法向量的一个法向量为

设平面A1DN的法向量为，则，

即，取，则，，

则.

（1）由题意：

，

；

（2）由题意：

解得.