Question

已知椭圆两焦点，并经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设为椭圆上关于轴对称的不同两点，为轴上两点，且，证明：直线的交点仍在椭圆上；

（3）你能否将（2）推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）若椭圆，若，则直线的交点仍在椭圆上；

【解析】

（1）已知焦点，利用椭圆的定义，求得椭圆的长轴长，再求得，写出方程即可.

（2）设，得到直线的方程为，直线 的方程为 ，设设交点 ，分别代入直线， 的方程得 ，，两式化简得到，说明交点在椭圆上.

（3）根据（2）的论证过程，推知规律是.

根据题意，椭圆的长轴长： ，

解得 ，

又 ，

所以椭圆的方程是.

（2）设 ，

则直线 的方程为①，

直线 的方程为 ②

设交点 ，代入①②得

③ ，

④，

③与④两边分别相乘得

，

又因为，，

所以，

所以直线的交点的坐标适合椭圆的方程，

所以直线的交点仍在椭圆上.

（3）若椭圆，若，则直线的交点仍在椭圆上；