Question

已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：

    (I)证明：平面平面;

    (Ⅱ)求二面角的余弦值；

    (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）;（Ⅲ） .

【解析】

试题第一问取中点，根据等腰三角形的性质求得，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.

（Ⅰ）方法1：

设的中点为，连接，. 由题意

，，

因为在中，，为的中点

所以，

因为在中，，，

所以

因为，平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

方法2：

设的中点为，连接，.

因为在中，，为的中点

所以，

因为，，

所以≌≌

所以

所以

因为，平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

方法3：

设的中点为，连接，因为在中，，

所以

设的中点，连接，及.

因为在中，，为的中点

所以.

因为在中，，为的中点

所以.

因为，平面

所以平面

因为平面

所以

因为，平面

所以平面

因为平面

所以平面 平面

（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则

，，，，

由平面，故平面的法向量为

由，

设平面的法向量为，则

由得：

令，得，，即

由二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为

（Ⅲ）设，，则

令

得

即，μ是关于λ的单调递增函数，

当时，，

所以