Question

某市每年春节前后,由于大量的烟花炮竹的燃放,空气污染较为严重．该市环保研究所对近年春节前后每天的空气污染情况调查研究后发现,每天空气污染的指数．f（t），随时刻t（时）变化的规律满足表达式，其中a为空气治理调节参数,且a∈（0，1）．

(1)令,求x的取值范围；

(2)若规定每天中f（t）的最大值作为当天的空气污染指数,要使该市每天的空气污染指数不超过5,试求调节参数a的取值范围．

Answer

(1)[0，1]；(2).

【解析】

(1)题根据t的取值范围，及复合函数同增的单调性可得x的取值范围；

(2)题根据第(1)题的提示构造一个函数h（x）=|x-a|+3a+2，然后将绝对值函数转化成分段函数，考虑单调性及最大值的取值，再与5比较，即可得到调节参数a的取值范围．

(1)由题意,0≤t≤24，则1≤t+1≤10,

∴0=lg1≤lg（t+1）≤lg10=1．

故x的取值范围为：[0，1]．

(2)由(1),知：

可设

则．

根据一次函数的单调性,很明显h（x）在[0，a）上单调递减,在[a，1]上单调递增．

∴用表示函数的最大值是中最大的值.

∵，

∴,即,

解得0＜a≤．

∴a的取值范围为：（0，]．