Question

已知奇函数.

（1）求实数的值；

（2）判断函数在其定义域上的单调性，并用定义证明；

（3）若对所有的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）函数是R上的增函数,证明见解析（3）

【解析】

（1）根据奇函数性质,可知,代入即可求得的值.

（2）利用定义,,作差后,将整式变形后即可判断符号,进而判断函数的单调性.

（3）根据奇函数的性质,结合单调递增,即可将不等式变形为;结合辅助角公式及恒成立问题,解关于m的不等式组即可求得的取值范围.

（1）若为奇函数,

则,

解得.

（2）由（1）可知,.则是R上的增函数.

证明：任取,

则

且

即

所以函数是R上的增函数.

（3）若对所有的恒成立,

因为是奇函数,

对所有的恒成立.

因为是R上的增函数,

对所有的恒成立.

即对所有的恒成立.

利用辅助角公式变形可得

因为对所有的恒成立.

.

,

解得.