Question

已知函数.

（1）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围；

（2）已知函数，，若是的极大值点，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）转化条件得，利用导数求出在区间上的最小值即可；

（2）求导得，由极大值可得可知且，则，利用导数求出在的值域即可得解.

（1）若不等式在上有解，则.

因为，

所以.

令，，则易知在上单调递减，且，.故存在，使得在区间上单调递增，在区间上单调递减.

所以，当时，，

故实数的取值范围为.

（2）由题意知，

所以，.

记，

则，

所以，仅在在区间上单调递减.

若是的极大值点，则，

且，

所以，

记，

则.

所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，易知，，，

所以，当时，，

所以，，

即的取值范围为.