Question

已知点是椭圆的一个顶点，且椭圆N的离心率为.

（1）求椭圆N的方程；

（2）已知是椭圆N的左焦点，过作两条互相垂直的直线，交椭圆N于两点，交椭圆N于两点，求的取值范围.

Answer

（1）（2）

【解析】

（1）根据椭圆的性质得出的值，即可得出椭圆的方程；

（2）分情况讨论，当直线有一条斜率不存在时，；

当斜率存在且不为0时，设其方程为，，将方程代入椭圆方程，由韦达定理得出，，利用弦长公式得出，，进而得出，再利用换元法得出的取值范围.

【解析】
（1）由题意，.

∵，∴，，

∴椭圆N的方程为.

（2）由（1）的椭圆方程，得.

①当直线有一条斜率不存在时，.

②当斜率存在且不为0时，设其方程为，，

联立，得.

∴，.

∴.

把代入上式，可得

∴，设

∴

∵，∴.

综上，的取值范围是.