Question

在函数定义域内,若存在区间,使得函数值域为,则称此函数为“档类正方形函数”,已知函数.

(1)当时,求函数的值域;

(2)若函数的最大值是1,求实数的值;

(3)当时,是否存在,使得函数为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数的取值范围,若不存在,请说明理由.

Answer

(1);(2)或;(3)存在,.

【解析】

（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数的值域；

（2）利用换元法设，然后对参数进行分类讨论，分和两种情况进行讨论函数的最大值，根据最大值取得的情况计算出的取值；

（3）继续利用换元法设，设真数为，根据二次函数的性质可得在上为增函数，则，将问题转化为方程在上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据，及韦达定理可计算出实数的取值范围.

(1)时,,

因为.

所以,

所以函数的值域为

(2)设,则,

若,则函数无最大值,

即无最大值,不合题意;

故,因此最大值在时取到,

且,所以,

解得或,

由,所以.

(3)因为时,设.设真数为.

此时对称轴,

所以当时,为增函数,且,

即在上为增函数.

所以,,

即方程在上有两个不同实根,

即,设.

所以.

即方程有两个大于l的不等实根,

因为,

所以,

解得,

即存在,使得函数为“1档类正方形函数”,且.