Question

在中（图1），，，为线段上的点，且.以为折线，把翻折，得到如图2所示的图形，为的中点，且，连接.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）证明见解析 （2）

【解析】

(1)根据条件先证明平面，然后结论可证.
(2) 以为原点，、、所在的直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

（1）证明：在图1中有：，，所以

在中，，，

，所以

在图2中有：在中，，为的中点

，在中，，，

，所以

翻折后仍有

又、平面，，

平面

平面，

所以

（2）【解析】
由（1）可知、、两两互相垂直.

以为原点，、、所在的直线分别为、、 轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，

，

设平面的法向量为，则

，令，则，，

平面的法向量为

二面角的余弦值为