Question

已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；

(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.

Answer

(1)证明见解析；(2) [0，＋∞)；(3)4，x－2y＋4＝0.,

【解析】

(1)将直线的方程整理为斜截式的形式后,可知其过定点；(2)若直线不经过第四象限，则其斜率与其在轴上的截距均非负，此时可列出关于的不等式组，从而求得的取值范围；(3)根据直线的方程可求出点与的坐标，进而用含的式子表示出的面积，利用均值不等式可求出的面积最小时的值，从而得到的面积的最小值与此时直线的方程.

(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 解得 ,

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．

(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－ ，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 解得k＞0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).

(3)由题意可知k≠0，再由l的方程，

得A ，B(0,1＋2k).

依题意得解得k＞0.

∵S＝ ·|OA|·|OB|＝·|1＋2k|

＝·＝

≥×(2×2＋4)＝4，

“＝”成立的条件是k＞0且4k＝ ，

即k＝，∴Smin＝4，

此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.