Question

设抛物线，满足，过点作抛物线的切线，切点分别为.

（1）求证：直线与抛物线相切；

（2）若点坐标为，点在抛物线的准线上，求点的坐标；

（3）设点在直线上运动，直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不存在，请说明理由；

Answer

（1）证明见详解；（2） （3）是，

【解析】

（1）联立直线方程与抛物线方程，由，即可证明；

（2）根据点在抛物线上解得，进而写出点坐标，再根据点既在直线上，又在抛物线上，联立方程组即可求得的坐标；

（3）写出直线的方程，根据过点和过点的直线交于点得到的结论，整理化简直线方程，即可求得恒过的定点.

（1）联立直线与抛物线方程，消去

可得

故，因为点在抛物线上，

故

则直线与抛物线只有一个交点

又因为，故该直线不与轴平行，

即证直线与抛物线相切.

（2）因为点在抛物线上，故可得，解得

由（1）可知过点的切线方程为，即

又抛物线的准线方程为，故令，解得，

即点的坐标为.

因为过点的切线方程为，其过点

故可得，又因为点满足抛物线方程，

故可得，联立方程组可得

解得（舍去，与点重合），，

故点的坐标为.

（3）由（1）得过点的切线方程为

令，可解得

过点的切线方程为

令，可解的

因为两直线交于点，故可得

整理得 ①

当过两点的直线斜率存在，则设其方程为：

整理得，将①代入可得

故直线方程为

故该直线恒过定点;

当过两点的直线斜率不存在时，

，代入①可得

过此时直线，也经过点

综上所述，直线恒过定点，即证.