Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

（1）求函数的解析式；

（2）求及的值；

（3）若存在实数，使得不等式有解，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2），；（3）

【解析】

（1）由奇函数得，由于当时，，设，则，，解得即可；

（2）代入解析式，分别求值即可；

（3）题意即的最小值，其中，利用换元思想及二次函数性质求出，其中的最小值即可.

（1）因为函数是定义在上的奇函数，

所以，

由于当时，，

设，则，，解得；

所以；

（2），

；

.

（3）存在实数，使得不等式有解，

即的最小值，其中；

设，其中，

即，其中，

，其中，

，

因为，所以，；；

故实数的取值范围为：.