Question

正整数数列的前项和为，前项积，若，则称数列为“数列”.

(1)判断下列数列是否是数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56

(2)若数列是数列，且.求和；

(3)是否存在等差数列是数列？请阐述理由.

Answer

(1) ①是；②不是；理由见解析；（2）或；（3）存在.

【解析】

(1)根据新定义的数列，需要满足，所以分别计算两个数列的，，相比观察得答案；

(2)由数列的定义可知，分别表示，由正整数数列可分别求得，即得，从而得答案；

(3) 假设存在这样的等差数列是数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项，分别表示所以，所以a是2和3的公倍数，令，显然该等差数列是Z数列，所以存在；此后类比推理，可到n项.

(1) ①由题可知，此时有

1

2

3

4

2

2

1

1

2

8

该数列满足，所以是数列；

②同理可得：

1

2

3

4

8

8

1

6

3360

该数列中，所以不是数列.

(2) 因为数列是数列，

那么，则

又因为数列是正整数数列，

若，则，

所以，则或

当时，；同理当时，

故或

(3) )假设：存在这样的等差数列是数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项

所以，所以a是2和3的公倍数

令，显然该等差数列是Z数列，所以存在；

同理，如果是四项，则需满足每项是2，3，4的公倍数，如12，12，12，12

如此类推的有限等差数列，可以有无穷多个，且当为n项时，则各项为的公倍数

故存在等差数列是数列.