Question

（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．

（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小为，求的值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题（1）以为坐标原点，建立坐标系，求出相关点的坐标，平面的法向量，利用空间数量积求解直线与平面所成角的正弦值；

（2）求出平面的一个法向量，设，代入，求得，求出平面的法向量，通过向量的数量积得到方程即可求出的值．

试题解析：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，．当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，

令，则，所以平面的一个法向量，

所以，即直线与平面所成角的正弦值．

（2）易知平面的一个法向量．

设，代入，得，

解得，即，所以，

设平面的法向量，则，

消去，得，令，则，，

所以平面的一个法向量，

所以，解得或，因为，所以．